Machzahl
Allgemeine Definition der Schallgeschwindigkeit:
\begin{equation}
a = \sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}
\label{eq:sos_def}
\end{equation}
mit dem Isentropenexponenten \(\gamma\):
\begin{equation}
\gamma = \frac{c_{p}}{c_{v}} = \frac{c_{p}}{c_{p} – R_{i}}
\label{eq:gamma_def}
\end{equation}
Unter Verwendung der thermischen Zustandsgleichung eines idealen Gases ergibt sich:
\begin{equation}
a = \sqrt{\gamma R_{i} T}
\label{eq:sos_def_idgas}
\end{equation}
Machzahl:
\begin{equation}
Ma = \frac{v}{a}
\label{eq:mach_def}
\end{equation}
Totalgrößen
Aus der Betrachtung der Staupunktströmung wird ersichtlich, dass sich der Totaldruck aus dem statischen und dem dynamischen Druck zusammensetzt (geodätischer Druck wird vernachlässigt):
\begin{equation}
p_{t} = p + p_{dyn}
\label{eq:ptot_def}
\end{equation}
Da es keine Zu- oder Abfuhr von Energie gibt, bleibt der Totaldruck konstant, es werden lediglich die Anteile zwischen dem statischen und dem dynamischen Druck umverteilt.
Für den inkompressiblen Fall erfolgt die Berechnung mit der entsprechenden Bernoulli-Gleichung:
\begin{equation}
p_{t} = p + \frac{\rho}{2} v^{2} \quad \textrm{(inkompressibel)}
\label{eq:ptot_incomp}
\end{equation}
Die Berechnung für den kompressiblen Fall ist etwas komplizierter:
\begin{equation}
\frac{p_{t}}{p} = \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}} \quad \textrm{(kompressibel)}
\label{eq:ptot_comp}
\end{equation}
Diese Beziehung wird aus der isentropen Verzögerung auf Null hergeleitet, die sich für die spezifische Enthalpie wie folgt darstellt:
\begin{equation}
h_{t} = h + \frac{v^{2}}{2}
\label{eq:htot}
\end{equation}
In einem idealen Gas besteht folgender Zusammenhang (kalorische Zustandsgleichung):
\begin{equation}
h = c_{p} T
\end{equation}
so dass sich die obige Gleichung wie folgt umformulieren läßt:
\begin{equation}
c_{p} T_{t} = c_{p} T + \frac{v^{2}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{v^{2}}{2 c_{p} T}
\end{equation}
Mit
\begin{equation}
c_{p} = \frac{\gamma R_{i}}{\gamma – 1}
\end{equation}
wird daraus
\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} \frac{v^{2}}{\gamma R_{i} T}
\end{equation}
Die Definitionen der Schallgeschwindigkeit \eqref{eq:sos_def_idgas} und der Machzahl \eqref{eq:mach_def} führen auf:
\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma^{2} \quad \textrm{(kompressibel)}
\label{eq:Ttot_comp}
\end{equation}
Die isentrope Beziehung
\begin{equation}
\frac{p_{t}}{p} = \left ( \frac{T_{t}}{T} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:ptot_Ttot}
\end{equation}
führt schließlich auf die oben angegebene kompressible Gleichung \eqref{eq:ptot_comp} für den Totaldruck.
In allen Punkten des Strömungsfeldes lässt sich eine solche „virtuelle“ isentrope Aufstauung bis zum Stillstand anwenden, so dass man überall die zugehörigen Totalgrößen zuordnen kann.
Bernoulli-Gleichung für kompressible Strömungen
Die Kontinuitätsgleichung für reibungsfreie und stationäre Strömungen von idealen Gasen entlang eines Stromfadens von 1 nach 2 lautet:
\begin{equation}
\int_{1}^{2} v \, dv + \int_{1}^{2} \frac{dp}{\rho} = 0
\label{eq:konti_komp}
\end{equation}
Mit der isentropen Beziehung für ideale Gase
\begin{equation}
\frac{p}{\rho^{\gamma}} = const.
\label{eq:isent_p_rho}
\end{equation}
und dem Isentropenexponenten \(\gamma\) nach Gl. \eqref{eq:gamma_def} führt die Integration auf die Bernoulli-Gleichung für kompressible Strömungen:
\begin{equation}
\frac{v_{1}^{2}}{2} + \frac{\gamma}{\gamma – 1} \frac{p_{1}}{\rho_{1}} = \frac{v_{2}^{2}}{2} + \frac{\gamma}{\gamma – 1} \frac{p_{2}}{\rho_{2}}
\label{eq:Bern_komp}
\end{equation}