Kompressibilität

Machzahl

Allgemeine Definition der Schallgeschwindigkeit:

\begin{equation}
a = \sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}
\label{eq:sos_def}
\end{equation}

mit dem Isentropenexponenten \(\gamma\):

\begin{equation}
\gamma = \frac{c_{p}}{c_{v}} = \frac{c_{p}}{c_{p} – R_{i}}
\label{eq:gamma_def}
\end{equation}

Unter Verwendung der thermischen Zustandsgleichung eines idealen Gases ergibt sich:

\begin{equation}
a = \sqrt{\gamma R_{i} T}
\label{eq:sos_def_idgas}
\end{equation}

Machzahl:

\begin{equation}
Ma = \frac{v}{a}
\label{eq:mach_def}
\end{equation}

Totalgrößen

Aus der Betrachtung der Staupunktströmung wird ersichtlich, dass sich der Totaldruck aus dem statischen und dem dynamischen Druck zusammensetzt (geodätischer Druck wird vernachlässigt):

\begin{equation}
p_{t} = p + p_{dyn}
\label{eq:ptot_def}
\end{equation}

Da es keine Zu- oder Abfuhr von Energie gibt, bleibt der Totaldruck konstant, es werden lediglich die Anteile zwischen dem statischen und dem dynamischen Druck umverteilt.

Abb.: Totaldruck in der Staupunktströmung, Lizenz: cc-by-nc-4.0

Für den inkompressiblen Fall erfolgt die Berechnung mit der entsprechenden Bernoulli-Gleichung:

\begin{equation}
p_{t} = p + \frac{\rho}{2} v^{2} \quad \textrm{(inkompressibel)}
\label{eq:ptot_incomp}
\end{equation}

Die Berechnung für den kompressiblen Fall ist etwas komplizierter:

\begin{equation}
\frac{p_{t}}{p} = \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}} \quad \textrm{(kompressibel)}
\label{eq:ptot_comp}
\end{equation}

Diese Beziehung wird aus der isentropen Verzögerung auf Null hergeleitet, die sich für die spezifische Enthalpie wie folgt darstellt:

\begin{equation}
h_{t} = h + \frac{v^{2}}{2}
\label{eq:htot}
\end{equation}

In einem idealen Gas besteht folgender Zusammenhang (kalorische Zustandsgleichung):

\begin{equation}
h = c_{p} T
\end{equation}

so dass sich die obige Gleichung wie folgt umformulieren läßt:

\begin{equation}
c_{p} T_{t} = c_{p} T + \frac{v^{2}}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{v^{2}}{2 c_{p} T}
\end{equation}

Mit

\begin{equation}
c_{p} = \frac{\gamma R_{i}}{\gamma – 1}
\end{equation}

wird daraus

\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} \frac{v^{2}}{\gamma R_{i} T}
\end{equation}

Die Definitionen der Schallgeschwindigkeit \eqref{eq:sos_def_idgas} und der Machzahl \eqref{eq:mach_def} führen auf:

\begin{equation}
\frac{T_{t}}{T} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma^{2} \quad \textrm{(kompressibel)}
\label{eq:Ttot_comp}
\end{equation}

Die isentrope Beziehung

\begin{equation}
\frac{p_{t}}{p} = \left ( \frac{T_{t}}{T} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:ptot_Ttot}
\end{equation}

führt schließlich auf die oben angegebene kompressible Gleichung \eqref{eq:ptot_comp} für den Totaldruck.

In allen Punkten des Strömungsfeldes lässt sich eine solche „virtuelle“ isentrope Aufstauung bis zum Stillstand anwenden, so dass man überall die zugehörigen Totalgrößen zuordnen kann.

Bernoulli-Gleichung für kompressible Strömungen

Die Kontinuitätsgleichung für reibungsfreie und stationäre Strömungen von idealen Gasen entlang eines Stromfadens von 1 nach 2 lautet:

\begin{equation}
\int_{1}^{2} v \, dv + \int_{1}^{2} \frac{dp}{\rho} = 0
\label{eq:konti_komp}
\end{equation}

Mit der isentropen Beziehung für ideale Gase

\begin{equation}
\frac{p}{\rho^{\gamma}} = const.
\label{eq:isent_p_rho}
\end{equation}

und dem Isentropenexponenten \(\gamma\) nach Gl. \eqref{eq:gamma_def} führt die Integration auf die Bernoulli-Gleichung für kompressible Strömungen:

\begin{equation}
\frac{v_{1}^{2}}{2} + \frac{\gamma}{\gamma – 1} \frac{p_{1}}{\rho_{1}} = \frac{v_{2}^{2}}{2} + \frac{\gamma}{\gamma – 1} \frac{p_{2}}{\rho_{2}}
\label{eq:Bern_komp}
\end{equation}