Da die räumliche Ausdehnung des senkrechten Verdichtungsstoßes sehr gering ist (\(10^{-4} mm\)), wird er hier als eine Unstetigkeitsstelle mit plötzlicher Änderung der Strömungsgrößen betrachtet. Ferner werden die Vorgänge im Stoß als reibungsbehaftet (nicht-isentrop) und adiabat (keine Wärmeübertragung) angenommen.
Die Problemstellung lautet nun, mit gegeben Größen der Zuströmung die Größen der Abströmung zu bestimmen. Betrachtet man die Kontrollfläche, die den Verdichtungsstoß umschließt, lassen sich folgende 5 Gleichungen aufstellen:
1) Kontinuitätsgleichung:
\begin{equation}
-\rho_{1} v_{1} A + \rho_{2} v_{2} A = 0 \quad \rightarrow \quad \rho_{1} v_{1} = \rho_{2} v_{2}
\label{eq:shockn_cont}
\end{equation}
2) Impulsgleichung:
\begin{equation}
\left( -v_{1} A \right) \rho_{1} v_{1} + \left( v_{2} A \right) \rho_{2} v_{2}= p_{1} A – p_{2} A
\label{eq:shockn_mom1}
\end{equation}
\begin{equation}
p_{1} + \rho_{1} v_{1}^{2} = p_{2} + \rho_{2} v_{2}^{2}
\label{eq:shockn_mom2}
\end{equation}
3) Energiegleichung:
\begin{equation}
-\left( u_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2} \right) \rho_{1} v_{1} A + \left( u_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2} \right) \rho_{2} v_{2} A = p_{1} A v_{1} – p_{2} A v_{2}
\label{eq:shockn_en1}
\end{equation}
\begin{equation}
p_{1} v_{1} + \left( u_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2} \right) \rho_{1} v_{1} = p_{2} v_{2} + \left( u_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2} \right) \rho_{2} v_{2}
\label{eq:shockn_en2}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{p_{1}}{\rho_{1}} + u_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2} = \frac{p_{2}}{\rho_{2}} + u_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2}
\label{eq:shockn_en3}
\end{equation}
\begin{equation}
c_{p} T_{t1} = h_{1} + \frac{v_{1}^{2}}{2} = h_{2} + \frac{v_{2}^{2}}{2} = c_{p} T_{t2}
\label{eq:shockn_en4}
\end{equation}
4) Spezifische Enthalpie:
\begin{equation}
h_{1} = c_{p} T_{1} \qquad h_{2} = c_{p} T_{2}
\label{eq:shockn_spec_enth}
\end{equation}
5) Thermische Zustandsgleichung:
\begin{equation}
p_{1} = \rho_{1} R_{i} T_{1} \qquad p_{2} = \rho_{2} R_{i} T_{2}
\label{eq:shockn_eosth}
\end{equation}
Mit diesen Gleichungen liegen 5 Gleichungen für die 5 Unbekannten \(p_{2}\), \(\rho_{2}\), \(T_{2}\), \(h_{2}\) und \(v_{2}\) (bzw. \(Ma_{2}\)) nach dem Stoß vor, die sich nach einigen algebraischen Umformungen wie folgt ergeben:
1) Machzahl nach dem Stoß:
\begin{equation}
Ma_{2}^{2} = \frac{Ma_{1}^{2} + \frac{2}{\gamma – 1}}{\frac{2 \gamma}{\gamma – 1} Ma_{1}^{2} – 1}
\label{eq:shockn_ma}
\end{equation}
Nach einem senkrechten Verdichtungsstoß ist die Machzahl \(Ma_{2} < 1\).
2) Statisches Druckverhältnis:
\begin{equation}
\frac{p_{2}}{p_{1}} = 1 + \frac{2 \gamma}{\gamma + 1} \left( Ma_{1}^{2} – 1 \right)
\label{eq:shockn_pstat}
\end{equation}
Das Verhältnis der statischen Drücke über den senkrechten Verdichtungsstoß ist \(p_{2}/p_{1} > 1\). Mit einem Stoß ist somit eine (erhebliche) Druckerhöhung zu erzielen. Die noch zu klärende Frage ist, mit welchen Strömungsverlusten diese Druckerhöhung erkauft wird.
3) Dichte- bzw. Geschwindigkeitsverhältnis:
\begin{equation}
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}
\label{eq:shockn_dens1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} = \frac{\left( \gamma + 1 \right) Ma_{1}^{2}}{2 + \left( \gamma – 1 \right) Ma_{1}^{2}}
\label{eq:shockn_dens2}
\end{equation}
4) Temperatur- bzw. Enthalpieverhältnis:
\begin{equation}
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{h_{2}}{h_{1}} = \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}
\label{eq:shockn_temp1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left[ 1 + \frac{2 \gamma}{\gamma + 1} \left( Ma_{1}^{2} – 1 \right) \right] \frac{2 + \left( \gamma – 1 \right) Ma_{1}^{2}}{\left( \gamma + 1 \right) Ma_{1}^{2}}
\label{eq:shockn_temp2}
\end{equation}
5) Totaldruckverhältnis (Strömungsverluste):
\begin{equation}
\frac{p_{t2}}{p_{t1}} = \frac{p_{t2}}{p_{2}} \frac{p_{2}}{p_{1}} \frac{p_{1}}{p_{t1}}
\label{eq:shockn_pt1}
\end{equation}
Für die Berechnung des Totaldruckverhältnisses sind verschiedene Druckverhältnisse erforderlich. Neben dem oben bereits angeführten statischen Druckverhältnis werden die folgenden Zusammenhänge zwischen totalen und statischen Größen vor und nach dem Stoß benötigt:
\begin{equation}
\frac{p_{t1}}{p_{1}} = \left( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{1}^{2} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:shockn_pt2}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{p_{t2}}{p_{2}} = \left( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{2}^{2} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:shockn_pt3}
\end{equation}
Als Gesamtdruckverhältnis und damit als Maß für die Strömungsverluste über den senkrechten Verdichtungsstoß ergibt sich:
\begin{equation}
\frac{p_{t2}}{p_{t1}} = \frac{\left( \frac{\frac{\gamma + 1}{2} Ma_{1}^{2}}{1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{1}^{2}} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}}{\left( \frac{2 \gamma}{\gamma + 1} Ma_{1}^{2} – \frac{\gamma – 1}{\gamma + 1} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}}
\label{eq:shockn_pt4}
\end{equation}
Hierbei ist \(\frac{p_{t2}}{p_{t1}} \leq 1\).
Die grafische Interpretation dieser Beziehungen führt auf folgende Ergebnisse:
- Verdichtungsstöße sind wirksame Mittel zur (starken) Erhöhung des statischen Drucks
- Sehr kleiner Totaldruckverlust für \(Ma_{1} \approx 1\)
- Rapide Zunahme der Verluste für höhere Machzahlen
Über den senkrechten Verdichtungsstoß nehmen folgende Größen ab:
- Geschwindigkeit \(v\) (von Überschall auf Unterschall)
- Machzahl \(Ma\)
- Totaldruck \(p_{t}\)
Folgende Größen nehmen zu:
- Statischer Druck \(p\)
- Dichte \(\rho\)
- Statische Temperatur \(T\)
- Statische spezifische Enthalpie \(h\)
- Entropie \(s\)
Folgende Größen bleiben konstant:
- Totaltemperatur \(T_{t}\)
- Spezifische Totalenthalpie \(h_{t}\)