Der Ramjet, auch Staustrahltriebwerk genannt, besteht lediglich aus drei nicht-rotierenden Komponenten: dem Einlauf, der Brennkammer und der Düse. Es handelt sich also um eine recht einfache Bauart. Die bei der Verbrennung freigesetzte Wärme wird direkt für die Strahlbeschleunigung verwendet. Die Indizes in der Ramjet-Abbildung orientieren sich an den Stationen im Turbojet, wobei die nichtvorhandenen Komponenten übersprungen wurden.
Ausgehend von der vereinfachten Schubgleichung mit angepasster Düse:
\begin{equation}
F = \dot{m} \left ( v_{e} – v_{0} \right ) = \dot{m} \left ( v_{9} – v_{0} \right )
\label{eq:einfache_schubgleichung}
\end{equation}
läßt sich der spezifische Schub formulieren:
\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = \frac{v_{0}}{a_{0}} \left ( \frac{v_{9}}{v_{0}} – 1 \right )
\label{eq:schub_spez_ramjet}
\end{equation}
Die ungekannte Größe hierbei ist die Austrittsgeschwindigkeit \(v_{9}\). Um diese zu bestimmen, wird zunächst der Zustand am Düsenaustritt betrachtet:
\begin{equation}
T_{t9} = T_{9} \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )
\label{eq:tt9_compress}
\end{equation}
\begin{equation}
T_{t9} = T_{0} \Theta_{0} \tau_{d} \tau_{b} \tau_{n}
\label{eq:tt9_componenten}
\end{equation}
Da es sich im Einlauf und in der Düse um verlustfreie Strömung ohne Wärmeübertragung handelt (idealer Kreisprozess, \(\tau_{d}=1\), \(\tau_{n}=1\)), gilt:
\begin{equation}
T_{t9} = T_{0} \Theta_{0} \tau_{b}
\label{eq:tt9_componenten2}
\end{equation}
\begin{equation}
T_{t9} = T_{t7}
\label{eq:tt9_tt7}
\end{equation}
\begin{equation}
T_{t0} = T_{t2}
\label{eq:tt0_tt2}
\end{equation}
Diese Beziehungen führen auf das folgende Temperaturverhältnis in der Brennkammer:
\begin{equation}
\tau_{b} = \frac{T_{t7}}{T_{t2}} = \frac{T_{t9}}{T_{t0}} = \frac{ T_{9} \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right ) }{ T_{0} \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2} \right ) }
\label{eq:tau_b_ramjet}
\end{equation}
Zur Bestimmung der Austrittsmachzahl \(Ma_{9}\) werden folgende Beziehungen für den Austrittsdruck benötigt:
\begin{equation}
p_{t9} = p_{9} \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:pt9_compress}
\end{equation}
\begin{equation}
p_{t9} = p_{0} \delta_{0} \pi_{d} \pi_{b} \pi_{n}
\label{eq:pt9_componenten}
\end{equation}
Da in der idealen Betrachtung keine dieser Komponenten Strömungsverluste aufweist und die Verbrennung isobar verläuft, d.h. \(\pi_{d}=\pi_{b}=\pi_{n}=1\), vereinfacht sich die letzte Gleichung zu:
\begin{equation}
p_{t9} = p_{0} \delta_{0} = p_{t0}
\label{eq:pt9_componenten2}
\end{equation}
Demnach bleibt der Totaldruck entlang des gesamten Staustrahltriebwerks konstant. Mit dieser Erkenntnis und der Gleichheit des statischen Drucks für eine angepasste Düse, \(p_{9}=p_{0}\), ergibt sich:
\begin{equation}
\frac{p_{t9}}{p_{9}} = \frac{p_{t0}}{p_{0}} = \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}} = \left ( 1+ \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:pratio_ramjet}
\end{equation}
Daraus folgt:
\begin{equation}
Ma_{9} = Ma_{0}
\label{eq:Ma9_ramjet}
\end{equation}
Auch wenn die Austrittsmachzahl der Flugmachzahl entspricht, handelt es sich um eine deutlich größere Austrittsgeschwindigkeit als die Fluggeschwindigkeit, da am Düsenaustritt eine größere Temperatur und somit Schallgeschwindigkeit vorherrscht.
Setzt man nun Gl. \eqref{eq:Ma9_ramjet} in Gl. \eqref{eq:tau_b_ramjet} ein, erhält man:
\begin{equation}
\tau_{b} = \frac{T_{9}}{T_{0}}
\label{eq:taub_ramjet_2}
\end{equation}
Mit der Definition der Machzahl:
\begin{equation}
Ma = \frac{v}{a} = \frac{a}{\sqrt{\gamma R_{i} T}}
\label{eq:mach_def}
\end{equation}
kann die unbekannte Austrittsgeschwindigkeit aus Gl. \eqref{eq:schub_spez_ramjet} wie folgt umformuliert werden:
\begin{equation}
\frac{v_{9}}{v_{0}} = \frac{Ma_{9}}{Ma_{0}} \sqrt{\frac{T_{9}}{T_{0}}} = \sqrt{\frac{T_{9}}{T_{0}}} = \sqrt{\tau_{b}}
\label{eq:v9v0_ramjet}
\end{equation}
Einsetzen in Gl. \eqref{eq:schub_spez_ramjet} ergibt schließlich den spezifischen Schub:
\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = Ma_{0} \left ( \sqrt{\tau_{b}} – 1 \right )
\label{eq:schub_spez_ramjet2}
\end{equation}
Der spezifische Schub hängt offensichtlich nur von der Flugmachzahl \(Ma_{0}\) und dem Aufheizverhältnis in der Brennkammer \(\tau_{b}\) ab.
Die Schubgleichung \eqref{eq:schub_spez_ramjet2} und das Treibstoff-Massenstromverhältnis
\begin{equation}
f = \frac{\dot{m}_f}{\dot{m}}
\label{eq:treibstoff_f}
\end{equation}
ergeben den spezifischen Impuls
\begin{equation}
I_{sec} = \frac{F}{g \dot{m}_{f}} = \frac{a_{0}}{g f} \left ( \sqrt{\tau_{b}} – 1 \right )
\label{eq:spez_impuls}
\end{equation}
Das benötigte Treibstoff-Massenstromverhältnis wird aus der Energiebilanz über der Brennkammer berechnet:
\begin{equation}
\dot{m}_{0} c_{p} T_{t0} + \dot{m}_{f} h_{low} = \left ( \dot{m}_{0} + \dot{m}_{f} \right ) c_{p} T_{t7}
\label{eq:rj_energie1}
\end{equation}
\begin{equation}
\dot{m}_{0} c_{p} T_{0} \Theta_{0} + \dot{m}_{f} h_{low} = \left ( \dot{m}_{0} + \dot{m}_{f} \right ) c_{p} T_{0} \Theta_{0} \tau_{b}
\label{eq:rj_energie2}
\end{equation}
\begin{equation}
c_{p} T_{0} \Theta_{0} + f h_{low} = \left ( 1 + f \right ) c_{p} T_{0} \Theta_{0} \tau_{b}
\label{eq:rj_energie3}
\end{equation}
Mit der Annahme
\begin{equation}
f \ll 1
\label{eq:rj_massfrac}
\end{equation}
die nur auf den Klammerausdruck auf der rechten Seite der Gl. \eqref{eq:rj_energie3} anwendbar ist, läßt sich folgendes schreiben:
\begin{equation}
f = \frac{c_{p} T_{0} \Theta_{0}}{h_{low}} \left ( \tau_{b} – 1 \right )
\label{eq:rj_energie4}
\end{equation}
Dann ergibt sich der spezifische Impuls zu:
\begin{equation}
I_{sec} = \left ( \frac{a_{0} h_{low}}{g c_{p} T_{0}} \right ) \frac{Ma_{0}}{\Theta_{0}} \frac{\sqrt{\tau_{b}} – 1}{\left ( \tau_{b} – 1 \right )}
\label{eq:spez_impuls2}
\end{equation}
Gleichungen \eqref{eq:schub_spez_ramjet2} und {eq:spez_impuls} können unter Verwendung von
\begin{equation}
\tau_{b} = \frac{T_{t7}}{T_{t2}} = \frac{\Theta_{b}}{\Theta_{0}} \quad \textrm{mit:} \quad \Theta_{b} = \frac{T_{t7}}{T_{0}}
\label{eq:tau_b}
\end{equation}
umformuliert werden zu
\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = Ma_{0} \left ( \sqrt{\frac{\Theta_{b}}{\Theta_{0}}} – 1 \right )
\label{eq:schub_spez_ramjet3}
\end{equation}
\begin{equation}
I_{sec} = \underbrace{\frac{a_{0}}{g f}}_{const.} Ma_{0} \left ( \sqrt{\frac{\Theta_{b}}{\Theta_{0}}} – 1 \right ) \quad \rightarrow \quad \frac{I_{sec} g f}{a_{0}} = Ma_{0} \left ( \sqrt{\frac{\Theta_{b}}{\Theta_{0}}} – 1 \right )
\label{eq:spez_impuls3}
\end{equation}
Diese beiden Gleichungen haben den gleichen Verlauf und sind in der nachfolgenden Abbildung über der Flugmachzahl \(Ma_{0}\) mit \(\Theta_{b}\) als Parameter dargestellt. Daraus lassen sich mehrere Schlußfolgerungen ziehen:
- Der Ramjet erzeugt keinen Standschub, d.h. \(F=0\) bei \(Ma_{0}=0\). Zunächst wird also ein anderer Antrieb (oder Mechanismus) benötigt, um das Flugzeug in Bewegung zu setzen.
- Mit zunehmender Flugmachzahl nehmen der spezifische Schub und der spezifische Impuls zunächst zu.
- Das Maximum beider Parameter wird zwischen \(Ma_{0}=2\) und \(3\) erreicht.
- Bei weiter zunehmender Machzahl nehmen beide Parameter ab, bis sie im hohen Überschall auf Null abnehmen. Dieses Verhalten kann durch die starke Temperaturzunahme bei der Strömungsverzögerung im Einlauf erklärt werden, so dass durch die Verbrennung nur noch geringe Temperaturerhöhung erzielt werden kann. Die maximale Verbrennungtemperatur von Kerosin beträgt bei stöchiometrischer Mischung ca. \(2500 K\). Sowohl eine Erhöhung als auch Verringerung des Kraftstoffmassenstroms (fette bzw. magere Mischung) führt zu einer kleineren Temperatur und würde beide Kennzahlen verschlechtern.
- Größere Verbrennungstemperatur, d.h. größeres \(\Theta_{b}\), ist vorteilhaft, da sie beide Kennzahlen erhöht.
Im hohen Überschall stellt die Verzögerung auf Unterschallgeschwindigkeiten, die für verlustarme Verbrennung notwendig ist, ein Problem dar, da sich hierdurch die Temperatur stark erhöht und nur eine geringe Temperaturanhebung in der Brennkammer geleistet werden kann. In solchen Fällen kann der sogenannte Scramjet (supersonic combustion ramjet) Abhilfe schaffen, bei dem nur geringfügig verzögert wird und die Verbrennung im Überschall stattfindet. Die Überschallverbrennung ist jedoch nicht unproblematisch, insbesondere wegen der geringen Flammstabilität und der hohen Druckverluste.