Turbojet ohne Nachbrenner (ideal)

Ebenen

Nach dem Luftfahrttechnischen Handbuch:

• 0: Ungestörte Zuströmung
• 1: Eintritt Einlauf (Diffusor)
• 2: Eintritt Verdichter / Austritt Einlauf
• 3: Eintritt Brennkammer / Austritt Verdichter
• 4: Eintritt Turbine / Austritt Brennkammer
• 5: Eintritt Übergangsstück / Austritt Turbine
• 6: Eintritt Nachbrenner / Austritt Übergangsstück
• 7: Eintritt Düse / Austritt Nachbrenner
• 8: Düsenhals (engste Stelle)
• 9: Austritt Düse

Neben der Variante mit dem Nachbrenner und der konvergent-divergenter Düse sind auch Varianten ohne Nachbrenner und mit einer konvergenten Düse möglich. In diesen Fällen werden die entsprechenden Stationen übersprungen, so dass Station 9 immer den Düsenaustritt repräsentiert.

Kreisprozess – Turbojet ohne Nachbrenner

Der Turbojet als Gasturbine arbeitet nach dem Joule- bzw. Brayton-Prozess. Für diesen idealen Kreisprozess werden folgende Voraussetzungen angenommen:

• Offenes thermodynamisches System, bei dem sowohl Masse als auch Energie über die Systemgrenze übertragen werden.
• Arbeitsmedium: Luft als ideales Gas.
• Keine Veränderung der Stoffeigenschaften durch die Verbrennung, d.h. ab der Brennkammer liegt das gleiche Arbeitsmedium vor.
• Verlustfreie Strömungsvorgänge, d.h. keine Dissipation.
• Stoffgrößen sind konstant, insbesondere die Wärmekapazitäten \(c_{p}\) und \(c_{v}\), sowie der Isentropenexponent \(\gamma\).

Das Arbeitsmedium (Luft) durchläuft folgende Zustandsänderungen:

• 0 -> 1: Isentrope Verdichtung der Fangstromröhre, \(W=0\), \(Q=0\).
  • Anmerkung: Die Erweiterung des Fangstromröhrenquerschnitts wie in der obigen Abbildung dargestellt, ist nur im Reiseflug und anderen Betriebspunkten mit hoher Fluggeschwindigkeit typisch. Bei langsamen Flugbewegungen ist der eingefangene Querschnitt in der Ebene 0 deutlich größer, so dass es zu einer Einschnürung bis zur Ebene 1 kommt. Dann wird die Strömung in diesem Abschnitt beschleunigt (statt verzögert) und der statische Druck abgebaut (statt aufgebaut).
• 1 -> 2: Isentrope Verdichtung im Einlauf, \(W=0\), \(Q=0\).
• 2 -> 3: Isentrope Verdichtung im Kompressor, \(W>0\), \(Q=0\).
• 3 -> 4: Isobare Wärmezufuhr durch Verbrennung, \(W=0\), \(Q>0\).
  • Anmerkung 1: Obwohl das Brennkammervolumen konstant ist, handelt es sich nicht um eine isochore Zustandsänderung. Da es sich um einen Strömungsvorgang handelt, muss hierbei der Volumenstrom statt des Volumens betrachtet werden. Die durch die Verbrennung freigesetzte Energie führt zu einer großen Beschleunigung, d.h. zu einer großen Zunahme des Volumenstroms. Der Druck bleibt hingegen näherungsweise konstant -> isobare Verbrennung.
  • Anmerkung 2: In der idealen Betrachtung bleiben die Stoffeigenschaften des Arbeitsmediums nach der Verbrennung unverändert.
• 4 -> 5: Isentrope Expansion in der Turbine, \(W<0\), \(Q=0\).
• 5 -> 9: Isentrope Expansion in der Düse, \(W=0\), \(Q=0\).
  • Anmerkung: In der idealen Betrachtung handelt es sich um eine angepasste Düse, d.h. \(p_{9}=p_{0}\).
• 9 -> 0: Isobare Wärmeabfuhr an die Umgebung, \(W=0\), \(Q<0\).
  • Anmerkung 1: Der Umgebungsdruck \(p_{0}\) wird dem austretenden Strahl aufgeprägt, so dass die Abkühlung bei diesem konstanten Druck erfolgt -> isobar.
  • Anmerkung 2: Diese Zustandsänderung schließt den Kreisprozess, d.h. das Arbeitsmedium erreicht den gleichen thermodynamischen Zustand wie zu Anfang des Kreisprozesses (Ebene 0). Ein Kreisprozess ist kein Kreislauf, d.h. die ausgestoßenen Fluidelemente müssen nicht das Triebwerk „überholen“, um erneut am Kreisprozess teilzunehmen. Bei einem offenen Kreisprozess werden die Zusatndsänderungen i.d.R. immer durch andere, „frische“ Teilchenelemente durchlaufen. Für die Schließung des Kreisprozesses ist es entscheidend, dass die Teilchenelemente den ursprünglichen Zustand wieder erreichen.

Das \(h\)-\(s\)-Diagramm eignet sich besonders gut zur Darstellung der übertragenen Energien. In einem idealen Gas ist die Berechnung der Enthalpie sehr einfach:

\begin{equation}
h = c_{p} T
\label{eq:enthalpie_temp}
\end{equation}

Die wichtigsten Erkenntnisse daraus sind:

• Totalenthalpie bleibt zwischen 0 und 2 konstant, da es keine Arbeitsübertragung gibt. Lediglich der dynamische Anteil wird von \(v_{0}\) auf \(v_{2}\) reduziert.
• Der Verdichter führt der Strömung die spezifische Arbeit \(\color{blue}{w_{comp}}\) zu, die der Erhöhung der spezifischen Totalenthalpie von 2 nach 3 entspricht:
  \begin{equation}\color{blue}{w_{comp}} = h_{t3} – h_{t2}\label{eq:wcomp}\end{equation}
• In der Brennkammer wird die spezifische Wärme \(\color{red}{q_{add}}\) zugeführt, was ebenfalls die spezifische Totalenthalpie um den entsprechenden Betrag erhöht:
  \begin{equation}\color{red}{q_{add}} = h_{t4} – h_{t3}\label{eq:qadd}\end{equation}
• Die isobare Wärmezufuhr führt auf:
  \begin{equation}v_{4} = v_{3}\end{equation}
  Da die Isobaren im \(h\)-\(s\)-Diagramm Exponentialfunktionen sind und nach rechts divergieren, muss zwangsläufig der Totaldruck abnehmen:
  \begin{equation}p_{t4} < p_{t3}\end{equation}
  Da diese Abnahme klein ist und die Betrachtung von idealen Kreisprozessen von einer verlustfreien Verbrennung ausgeht, wird in diesem Kapitel angenommen, dass der Totaldruck konstant bleibt:
  \begin{equation}p_{t4} \approx p_{t3}\end{equation}
• In der Turbine wird die spezifische Arbeit \(\color{orange}{w_{turb}}<0\) abgeführt:
  \begin{equation}\color{orange}{w_{turb}} = h_{t5} – h_{t4} \quad \rightarrow \quad \color{orange}{w_{turb}}<0\label{eq:wturb1}\end{equation}
  Gleichzeitig herrscht Energie- bzw- Leistungsgleichgewicht zwischen der Turbine und dem Verdichter (im idealen Fall werden alle Strömungs- und Übertragungsverluste vernachlässigt):
  \begin{equation}\color{orange}{ \left | w_{turb} \right | } = \color{blue}{w_{comp}}\label{eq:wturb2}\end{equation}
• Für die Strahlbeschleunigung bleibt eine große Enthalpiedifferenz übrig, so dass eine große Austrittsgeschwindigkeit \(v_{9}\) erreicht wird.
• Stromab des Triebwerks wird die spezifische Wärme \(\color{green}{q_{rel}}<0\) abgeführt.

Aus dem \(T\)-\(s\)-Diagramm lassen sich im wesentlichen die gleichen Schlussfolgerungen ziehen. Zusätzlich:

• Die Fläche unter der Zustandsänderung 3->4 entspricht der zugeführten spezifischen Wärme \(\color{red}{q_{add}}>0\).
• Die Fläche unter der Zustandsänderung 9->0 entspricht der abgeführten spezifischen Wärme \(\color{green}{q_{rel}}<0\).
• Die Kreisprozessarbeit \(w_{cyc}\) entspricht der eingeschlossenen Fläche und lässt sich aus den beiden Wärmen berechnen (negativ, da vom Kreisprozess abgegeben):
  \begin{equation}w_{cyc} = – \left ( \color{red}{q_{add}} + \color{green}{q_{rel}} \right )\label{eq:wc_waerme}\end{equation}

Interpretation des \(p\)-\(v\)-Diagramms:

• Auch hier entspricht die Kreisprozessarbeit der eingeschlossenen Fläche, die sich aus den technischen Arbeiten (Flächeninhalt zur \(y\)-Achse) berechnen lässt:
  \begin{equation}w_{cyc} = \frac{v_{0}^{2}}{2} + \color{blue}{w_{comp}} – \color{orange}{ \left | w_{turb} \right | } – \color{darkred}{ \left |\frac{v_{9}^{2}}{2} \right | } = \frac{v_{0}^{2}}{2} + \color{blue}{w_{comp}} + \color{orange}{w_{turb}} – \color{darkred}{ \frac{v_{9}^{2}}{2} } \label{eq:wc_techn_arbeit}\end{equation}
  Da sich die Verdichter- und Turbinenarbeit zu Null addieren, bleibt folgendes übrig (Austrittsebene 9 wird auch mit „e“ =exit gekennzeichnet):
  \begin{equation}w_{cyc} =  \frac{v_{0}^{2}}{2} – \frac{v_{9}^{2}}{2} = – \frac{v_{9}^{2} – v_{0}^{2}}{2} = – \frac{v_{e}^{2} – v_{0}^{2}}{2} \label{eq:wcyc_ekin}\end{equation}
  Das entspricht der Änderung der spezifischen kinetischen Energie des Strahls, d.h. die Kreisprozessarbeit wird gänzlich in die Erhöhung der Strahlenergie umgewandelt.
• Die Kreisprozessarbeit lässt sich ebenfalls aus den Volumenänderungsarbeiten (Flächeninhalt zur \(x\)-Achse) berechnen (hier nicht gezeigt).

Grundlegend kann angemerkt werden, dass die statischen Größen als treibende Kraft hinter den Zustandsänderungen und Prozessgrößen agieren, nicht die Totalgrößen. So wird z.B. die Wärmeübertragung durch die statische Temperatur bestimmt und die Volumenänderungsarbeit durch den statischen Druck, der auf Systemränder wirkt. Deswegen werden die statischen Größen bei der Flächenintegration im \(T\)-\(s\)- und \(p\)-\(v\)-Diagramm verwendet. Die zugehörigen Totalgrößen und deren Kurvenverläufe können in den Diagrammen zugeordnet werden.

Diskussion des thermischen Wirkungsgrads und der Kreisprozessarbeit

In diesem Abschnitt erfolgt eine qualitative Diskussion, um einige Zusammenhänge und Trends aufzuzeigen. Zunächst wird die Auswirkung des zunehmenden Verdichterdruckverhältnisses auf die Kreisprozessarbeit bewertet:

• Kleines \(\pi\) führt auf eine kleine eingeschlossene Fläche \(w_{cyc}\) und ist somit für eine Maschine hoher Leistungsdichte nicht geeignet.
• Sehr großes \(\pi\) führt ebenfalls auf eine kleine Kreisprozessarbeit. Ferner ist bei diesem Fall auffällig, dass die Form der eingeschlossenen Fläche immer „rechteckiger“ wird, d.h. der Wirkungsgrad nähert sich dem Idealfall des Carnot-Prozesses. Dennoch ist dieser Fall für Flugzeugantriebe auch ungeeignet, aufgrund der geringen Leistungsdichte.
• Dazwischen muss es ein mittelgroßes \(\pi\) geben, bei dem die eingeschlossene Fläche ihr Maximum erreicht -> \(w_{cyc,max}\). In diesem Fall ist bei gegebenen Maschinendimensionen die größte Leistungsdichte erreicht.

Mit diesen Erkenntnissen lassen sich die Trends für den thermischen Wirkungsgrad und die Kreisprozessarbeit qualitativ wie in der nachfolgenden Abbildung auftragen. Für den Entwurf von Triebwerksverdichtern lässt sich daraus die Konsequenz ableiten, dass sich eine Erhöhung des Druckverhältnisses bis \(\pi_{wcyc,max}\) sowohl für \(w_{cyc}\) als auch \(\eta_{th}\) lohnt, da beide größen steigen. Danach sinkt \(w_{cyc}\), so dass zu prüfen ist, ob der weiterhin steigende Wirkungsgrad diesen Nachteil überkompensieren kann. Es muss ebenfalls mitberücksichtigt werden, dass das Verdichter- und Turbinengewicht mit steigendem \(\pi\) ebenfalls zunehmen, so dass der Entwurfskompromiss eventuell noch vor \(\pi_{wcyc,max}\) erreicht wird.

Neben dem Verdichterdruckverhältnis hat ebenfalls die Turbineneintrittstemperatur \(T_{max}\) eine große Bedeutung im Triebwerksbau. Die nachfolgende Abbildung verdeutlicht, dass die Erhöhung von \(T_{max}\) sowohl einen größeren Wirkungsgrad als auch eine größere Kreisprozessarbeit ermöglicht. Nachteilig hierbei ist die höhere thermische Belastung der Turbine, was zu einer kleineren Lebensdauer führt bzw. führen kann. Aus diesem Grund werden erhebliche Aufwände in die Entwicklung verbesserter Turbinenmaterialien und Kühlungsmethoden investiert. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Turbineneintrittstemperatur als die maximale Kreisprozesstemperatur \(T_{max}\) bezeichnet wird, obwohl es an lokalen Stellen in der Brennkammer, insbesondere in der Flamme, zu noch höheren Temperaturen kommt. Dieses Fluid wird jedoch massiv mit der Kühlluft gemischt, so dass die „gemittelte“ Temperatur am Turbineneintritt i.d.R. am größten ist.

Leistung

Die Leistung einer Strömungsmaschine steht in folgendem Zusammenhang mit der Kreisprozessarbeit:

\begin{equation}
P_{cyc} = \dot{m} w_{cyc}
\end{equation}

Hierbei ist der Treibstoffmassenstrom vernachlässigt worden. Einsetzen der Gl. \eqref{eq:wcyc_ekin} in diese Beziehung ergibt (\(v_{9}=v_{e}\)):

\begin{equation}
P_{cyc} = -\frac{1}{2} \dot{m} \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )
\label{eq:pcycle}
\end{equation}

Betragsmäßig entspricht das der Strahlleistung:

\begin{equation}
\left | P_{cyc} \right | = \left | P_{j} \right |
\label{eq:pcyc_pjet}
\end{equation}

Demnach ist die thermodynamische Güte des Kreisprozesses (thermischer Wirkungsgrad) dafür entscheidend, wieviel von dem zugeführten Wärmestrom in die Strahlleistung umgewandelt wird. Im zweiten Schritt wird die Strahlleistung in die Schubleistung umgewandelt, wofür der Vortriebswirkungsgrad verantwortlich ist, vgl. Abschnitt zum Wirkungsgrad:

\begin{equation}
\eta_{prop} = \frac{P_{F}}{P_{j}} = \frac{F v_{0}}{\frac{1}{2} \dot{m} \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )} = \frac{\dot{m} \left ( v_{e} –  v_{0} \right ) v_{0}}{\frac{1}{2} \dot{m} \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )}
\end{equation}

\begin{equation}
\eta_{prop} = \frac{ \left ( v_{e} – v_{0} \right ) v_{0}}{\frac{1}{2}  \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )}
\label{eq:etaprop_zwischen}
\end{equation}

Man kann den Vortriebswirkungsgrad auch mit Hilfe der spezifischen Verlustarbeit \(w_{loss}\), die von der vollständigen Umwandlung in die Vortriebsarbeit abgezogen wird, ausdrücken:

\begin{equation}
\eta_{prop} = 1 – \frac{ w_{loss} }{\frac{1}{2}  \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )}
\label{eq:etaprop_wloss}
\end{equation}

Gleichsetzen der Gln. \eqref{eq:etaprop_zwischen} und \eqref{eq:etaprop_wloss} liefert:

\begin{equation}
\frac{ \left ( v_{e} – v_{0} \right ) v_{0}}{\frac{1}{2}  \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )} = 1 – \frac{ w_{loss} }{\frac{1}{2}  \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right )}
\end{equation}

\begin{equation}
\left ( v_{e} – v_{0} \right ) v_{0} = \frac{1}{2} \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right ) – w_{loss}
\end{equation}

\begin{equation}
w_{loss} = \frac{1}{2} \left ( v_{e}^{2} – v_{0}^{2} \right ) – \left ( v_{e} – v_{0} \right ) v_{0}
\end{equation}

\begin{equation}
w_{loss} = \frac{1}{2} \left ( v_{e}- v_{0} \right )^{2}
\label{eq:wloss}
\end{equation}

Die zugehörige Verlustleistung \(P_{loss}\) berechnet sich zu:

\begin{equation}
P_{loss} = \dot{m}  w_{loss} = \frac{1}{2} \dot{m} \left ( v_{e}- v_{0} \right )^{2}
\label{eq:Ploss}
\end{equation}

Dieses Quadrat der Geschwindigkeitsdifferenz stellt die im Strahl verbleibende kinetische Energie dar, die nicht zur Umwandlung in Schubleistung \(P_{F}\) benutzt werden kann:

\begin{equation}
P_{F} = \left | P_{cyc} \right | – P_{loss} = \dot{m} \left ( \left | w_{cyc} \right |  – w_{loss} \right )
\label{eq:schubleistung1}
\end{equation}

\begin{equation}
P_{F}  = \dot{m} \left [ \underbrace{\frac{ v_{e}^{2} – v_{0}^{2} }{2}}_{\textrm{Änderung der Strahlenergie}}  – \underbrace{\frac{ \left ( v_{e}- v_{0} \right )^{2} }{2}}_{\textrm{Verlustenergie}}  \right ]
\label{eq:schubleistung2}
\end{equation}

Wirkungsgrad

Der Gesamtwirkungsgrad \(\eta_{all}\) für Strahlantriebe wurde bereits im entsprechenden Abschnitt definiert:

\begin{equation}
\eta_{all} = \frac{P_{F}}{\dot{Q}} = \frac{F v_{0}}{h_{low} \dot{m}_{f}}
\label{eq:eta_all_jet}
\end{equation}

Ersetzt man den Schub \(F\) durch die Beziehung für den schubspezifischen Treibstoffverbrauch:

\begin{equation}
tsfc = \frac{\dot{m}_{f}}{F} \quad \rightarrow \quad F = \frac{\dot{m}_{f}}{tsfc}
\label{eq:tsfc_f}
\end{equation}

ergibt sich daraus:

\begin{equation}
\eta_{all} = \frac{\color{blue}{v_{0}}}{h_{low} \, \color{red}{tsfc}} = f \left ( \color{blue}{v_{0}}, h_{low}, \color{red}{tsfc}\right )
\label{eq:eta_all_jet2}
\end{equation}

Demnach ist der Gesamtwirkungsgrad eines Triebwerks bei gewählter Treibstoffart direkt proportional der Fluggeschwindigkeit und umgekehrt proportional dem schubspezifischen Treibstoffverbrauch:

\begin{equation}
\eta_{all} \propto \color{blue}{v_{0}}
\label{eq:eta_all_jet_propv0}
\end{equation}

\begin{equation}
\eta_{all} \propto \frac{1}{\color{red}{tsfc}}
\label{eq:eta_all_jet_prop_tsfc}
\end{equation}

Der thermische Wirkungsgrad ist wie folgt definiert:

\begin{equation}
\eta_{th} = \frac{P_{j}}{\dot{Q}_{add}}
\label{eq:eta_th_def1}
\end{equation}

Nach Gl. \eqref{eq:pcyc_pjet} sind die Strahlleistung \(P_{j}\) und die Kreisprozessleistung \(P_{cyc}\) gleich groß:

\begin{equation}
\eta_{th} = \frac{\left | P_{cyc} \right |}{\dot{Q}_{add}} = \frac{\left | w_{cyc} \right |}{q_{add}}
\label{eq:eta_th_def2}
\end{equation}

Mit Gl. \eqref{eq:wc_waerme} ergibt sich:

\begin{equation}
\eta_{th} = \frac{\left | q_{add} \right | – \left | q_{rel} \right |}{q_{add}} = 1 – \frac{\left | q_{rel} \right |}{q_{add}}
\label{eq:eta_th_def3}
\end{equation}

Der Energiesatz liefert für die zugeführte und die abgeführte spezifische Wärme:

\begin{equation}
q_{add} = c_{p} \left ( T_{t4} – T_{t3} \right)
\label{eq:qadd_energie}
\end{equation}

\begin{equation}
\left | q_{rel} \right | = c_{p} \left ( T_{9} – T_{0} \right)
\label{eq:qrel_energie}
\end{equation}

Einsetzen in Gl. \eqref{eq:eta_th_def3}:

\begin{equation}
\eta_{th} = 1 – \frac{T_{9} – T_{0}}{T_{t4} – T_{t3}} = 1 – \frac{T_{0}}{T_{t3}} \frac{\frac{T_{9}}{T_{0}} – 1}{\frac{T_{t4}}{T_{t3}} – 1}
\label{eq:eta_th_def4}
\end{equation}

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, werden weitere Beziehungen zwischen den Temperaturverhältnissen gesucht, hier die Isentrope:

\begin{equation}
\frac{T_{t4}}{T_{9}} = \left ( \frac{p_{t4}}{p_{9}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}
\label{eq:isen_Tt4_T9}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{T_{t3}}{T_{0}} = \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}
\label{eq:isen_Tt3_T0}
\end{equation}

Ferner wurde für den idealen Kreisprozess eine verlustfreie Verbrennung:

\begin{equation}
p_{t3} = p_{t4}
\label{eq:eq_pt3_pt4}
\end{equation}

und der angepasste Austrittsdruck:

\begin{equation}
p_{9} = p_{0}
\label{eq:eq_p9_p0}
\end{equation}

angenommen. Dann kann Gl. \eqref{eq:isen_Tt4_T9} auch folgendermaßen geschrieben werden:

\begin{equation}
\frac{T_{t4}}{T_{9}} = \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}
\label{eq:isen_Tt4_T9_neu}
\end{equation}

Offensichtlich sind die rechten Seiten der Gln. \eqref{eq:isen_Tt3_T0} und \eqref{eq:isen_Tt4_T9_neu} gleich, d.h. die linken Seiten sind auch gleich:

\begin{equation}
\frac{T_{t4}}{T_{9}} = \frac{T_{t3}}{T_{0}}
\label{eq:isen_Tt4_Tt3}
\end{equation}

bzw.:

\begin{equation}
\frac{T_{t4}}{T_{t3}} = \frac{T_{9}}{T_{0}}
\label{eq:isen_Tt4_Tt3_new}
\end{equation}

Diese Beziehung führt nun zu der gesuchten Vereinfachung der Gl. \eqref{eq:eta_th_def4}:

\begin{equation}
\eta_{th} = 1 – \frac{T_{0}}{T_{t3}} = 1 – \left ( \frac{p_{0}}{p_{t3}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} = 1 – \frac{1}{\left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}} = f \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )
\label{eq:eta_th_def5}
\end{equation}

Eine bedeutende Erkenntnis daraus ist, dass der thermische Wirkungsgrad nur vom Verdichtungsverhältnis \(\delta_{3}=p_{t3}/p_{0}\) abhängt (und nicht von der maximalen Prozesstemperatur). Dieser Zusammenhang ist der Grund für den Trend zu immer größeren Verdichterdruckverhältnissen.

Das Verdichtungsverhältnis kann wie folgt erweitert werden:

\begin{equation}
\frac{p_{t3}}{p_{0}} = \frac{p_{t3}}{p_{t2}} \frac{p_{t2}}{p_{0}} = \pi_{comp} \delta_{2}
\label{eq:pt3_p0}
\end{equation}

Ferner:

\begin{equation}
\delta_{2} = \frac{p_{t2}}{p_{0}} = \frac{p_{t0}}{p_{0}} = \delta_{0} = \left (  1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2} \right ) ^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:pt2_p0}
\end{equation}

Einsetzen der beiden Beziehungen in Gl. \eqref{eq:eta_th_def5} führt auf eine andere Schreibweise für den thermischen Wirkungsgrad, in der auch die Flugmachzahl \(Ma_{0}\) vorkommt:

\begin{equation}
\eta_{th} = 1 – \frac{1}{\left ( \pi_{comp} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2} \right )}
\label{eq:eta_th_def6}
\end{equation}

Kreisprozessarbeit

Auflösen der Gl. \eqref{eq:eta_th_def2} nach der spezifische Kreisprozessarbeit liefert:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = q_{add} \, \eta_{th}
\label{eq:wcyc_qadd_etath}
\end{equation}

Die Kombination der Gln. \eqref{eq:qadd_energie} und \eqref{eq:isen_Tt3_T0} ergibt:

\begin{equation}
q_{add} = c_{p} \left ( T_{t4} – T_{t3} \right) = c_{p} \left [ T_{t4} – T_{0} \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \right ]
\label{eq:qadd_energie2}
\end{equation}

Einsetzen der Gln. \eqref{eq:qadd_energie2} und \eqref{eq:eta_th_def5} in Gl. \eqref{eq:wcyc_qadd_etath} ergibt:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = \underbrace{c_{p} \left [ T_{t4} – T_{0} \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \right ]}_{q_{add}} \, \underbrace{\left [ 1 – \frac{1}{\left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}} \right ]}_{\eta_{th}}
\label{eq:wcyc_qadd_etath_2}
\end{equation}

Mit der dimensionslosen Totaltemperatur:

\begin{equation}
\Theta_{3} = \frac{T_{t3}}{T_{0}} = \left ( \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} = \delta_{3}^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}
\label{eq:theta3}
\end{equation}

lässt sich diese Gleichung etwas übersichtlicher schreiben:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = c_{p} \left ( T_{t4} – T_{0} \Theta_{3} \right ) \, \left ( 1 – \frac{1}{\Theta_{3}} \right )
\label{eq:wcyc_qadd_etath_3}
\end{equation}

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = c_{p} T_{0} \left ( \frac{T_{t4}}{T_{0}} – \Theta_{3} \right ) \, \left ( 1 – \frac{1}{\Theta_{3}} \right )
\label{eq:wcyc_qadd_etath_4}
\end{equation}

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = c_{p} T_{0} \left [ \frac{T_{t4}}{T_{0}} \left ( 1 – \frac{1}{\Theta_{3}} \right ) – \left ( \Theta_{3} – 1 \right ) \right ]
\label{eq:wcyc_qadd_etath_5}
\end{equation}

Führt man weiterhin die dimensionslose Totaltemperatur am Turbineneintritt ein:

\begin{equation}
\Theta_{4} = \frac{T_{t4}}{T_{0}}
\label{eq:theta4}
\end{equation}

ergibt sich:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = c_{p} \color{orange}{T_{0}} \left [ \color{red}{\Theta_{4}} \left ( 1 – \frac{1}{\color{blue}{\Theta_{3}}} \right ) – \left ( \color{blue}{\Theta_{3}} – 1 \right ) \right ]
\label{eq:wcyc_qadd_etath_6}
\end{equation}

Der funktionale Zusammenhang lautet:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = f \left ( \color{orange}{T_{0}}, \color{red}{\Theta_{4}}, \color{blue}{\Theta_{3}} \right )
\label{eq:wcyc_qadd_etath_func}
\end{equation}

bzw.:

\begin{equation}
\left | w_{cyc} \right | = f \left ( \color{orange}{T_{0}}, \color{red}{\Theta_{4}}, \color{blue}{\frac{p_{t3}}{p_{0}}}, \color{blue}{\gamma} \right )
\label{eq:wcyc_qadd_etath_func2}
\end{equation}

Um eine große spezifische Kreisprozessarbeit und somit ein Triebwerk hoher Leistungsdichte zu bauen, ist demnach eine große Turbineneintrittstemperatur \(\color{red}{\Theta_{4}}\) notwendig.

Gl. \eqref{eq:wcyc_qadd_etath_6} kann für folgende Spezialfälle diskutiert werden:

1. Keine Kompression: \(p_{t3}/p_{0} = 1 \quad \rightarrow \quad \Theta_{3}=1 \quad \rightarrow \quad \left | w_{cyc} \right | = 0\)
2. Keine Verbrennung: \(T_{t3}=T_{t4} \quad \rightarrow \quad \Theta_{3} = \Theta_{4} \quad \rightarrow \quad \left | w_{cyc} \right | = 0 \)

Von Interesse ist ebenfalls die Frage, ob es ein Verdichtungsverhältnis gibt, bei dem die Kreisprozessarbeit maximiert wird. Ableiten der Gl. \eqref{eq:wcyc_qadd_etath_6} nach \(\Theta_{3}\) und Gleichsetzen zu Null (Extremwertaufgabe) führt auf:

\begin{equation}
\frac{d\left | w_{cyc} \right |}{d\Theta_{3}} = c_{p} T_{0} \left ( \Theta_{4} \frac{1}{\Theta_{3}^{2}} – 1 \right ) = 0
\label{eq:wcyc_ableitung}
\end{equation}

Auflösen nach \(\Theta_{3}\):

\begin{equation}
\left . \Theta_{3} \right |_{wcyc,max} = \sqrt{\Theta_{4}} = \sqrt{\frac{T_{t4}}{T_{0}}}
\label{eq:theta3_maxwc}
\end{equation}

bzw. mit Gl. \eqref{eq:theta3}:

\begin{equation}
\left . \delta_{3} \right |_{wcyc,max} = \left . \frac{p_{t3}}{p_{0}} \right |_{wcyc,max} = \left ( \frac{T_{t4}}{T_{0}} \right )^{\frac{\gamma}{2 \left ( \gamma – 1 \right )}}
\label{eq:delta3_maxwc}
\end{equation}

Zu jeder dimensionslosen Totaltemperatur am Turbineneintritt \(\Theta_{4}\) gibt es also ein Verdichtungsverhältnis \(\delta_{3}\), bei dem die Kreisprozessarbeit maximiert wird.

Spezifischer Schub

Ausgehend von der vereinfachten Schubgleichung:

\begin{equation}
F = \dot{m} \left ( v_{e} – v_{0} \right ) = \dot{m} \left ( v_{9} – v_{0} \right )
\label{eq:schub_einfach1}
\end{equation}

lässt sich der spezifische Schub (vgl. Abschnitt Schub) bestimmen:

\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = \frac{v_{0}}{a_{0}} \left ( \frac{v_{9}}{v_{0}} – 1 \right )
\label{eq:schub_einfach2}
\end{equation}

Um die Unbekannte \(\frac{v_{9}}{v_{0}}\) zu bestimmen, müssen \(Ma_{9}\) und \(T_{9}\) berechnet werden:

\begin{equation}
\frac{v_{9}}{v_{0}} = \frac{Ma_{9} a_{9}}{Ma_{0} a_{0}} = \frac{Ma_{9} \sqrt{\gamma R_{i} T_{9}}}{Ma_{0} \sqrt{\gamma R_{i} T_{0}}} = \frac{Ma_{9}}{Ma_{0}} \sqrt{\frac{T_{9}}{T_{0}}}
\label{eq:unbek_v9_v0}
\end{equation}

Zwischen den beiden Größen besteht folgende kompressible Beziehung:

\begin{equation}
T_{t9} = T_{9} \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )
\label{eq:T9_Ma9}
\end{equation}

Ferner ergibt sich die Totaltemperatur am Austritt aus den Änderungen in den einzelnen Komponenten:

\begin{equation}
T_{t9} = T_{0} \Theta_{0} \tau_{d} \tau_{c} \tau_{b} \tau_{t} \tau_{n}
\label{eq:Tt9_komps}
\end{equation}

Da es im idealen Fall keine Änderung der Totaltemperatur im Einlauf und in der Düse gibt (\(\tau_{d}=1\), \(\tau_{n}=1\)), vereinfacht sich die Gleichung zu:

\begin{equation}
T_{t9} = T_{0} \Theta_{0} \tau_{c} \tau_{b} \tau_{t}
\label{eq:Tt9_komps2}
\end{equation}

Analog dazu lassen sich die Drücke am Austritt berechnen:

\begin{equation}
p_{t9} = p_{9} \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma- 1}}
\label{eq:p9_Ma9}
\end{equation}

\begin{equation}
p_{t9} = p_{0} \delta_{0} \pi_{d} \pi_{c} \pi_{b} \pi_{t} \pi_{n}
\label{eq:pt9_komps}
\end{equation}

Einlauf, Brennkammer und Düse weisen keine Änderungen des Totaldrucks auf (\(\pi_{d}=1\), \(\pi_{b}=1\), \(\pi_{n}=1\)):

\begin{equation}
p_{t9} = p_{0} \delta_{0} \pi_{c} \pi_{t}
\label{eq:pt9_komps2}
\end{equation}

Gleichsetzen von Gl. \eqref{eq:Tt9_komps2} mit \eqref{eq:T9_Ma9} ergibt:

\begin{equation}
T_{0} \Theta_{0} \tau_{c} \tau_{b} \tau_{t} = T_{9} \left ( 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2} \right )
\label{eq:temp_interim}
\end{equation}

Gleichsetzen von Gl. \eqref{eq:pt9_komps2} mit \eqref{eq:p9_Ma9} zusammen mit dem angepassten Austrittsdruck \(p_{9}=p_{0}\) ergibt:

\begin{equation}
\left ( \delta_{0} \pi_{c} \pi_{t} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{9}^{2}
\label{eq:press_interim}
\end{equation}

Einsetzen von Gl. \eqref{eq:press_interim} in \eqref{eq:temp_interim} führt auf:

\begin{equation}
\frac{T_{9}}{T_{0}} = \frac{\Theta_{0} \tau_{c} \tau_{b} \tau_{t}}{\left ( \delta_{0} \pi_{c} \pi_{t} \right )^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}}
\label{eq:temp_interim2}
\end{equation}

Die isentropen Beziehungen:

\begin{equation}
\tau_{c}=\pi_{c}^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \quad \tau_{t}=\pi_{t}^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}} \quad \Theta_{0}=\delta_{0}^{\frac{\gamma – 1}{\gamma}}
\label{eq:isent_ct0}
\end{equation}

vereinfacht den Sachverhalt zu:

\begin{equation}
\frac{T_{9}}{T_{0}} = \tau_{b}
\label{eq:temp_interim3}
\end{equation}

Einsetzen in Gl. \eqref{eq:temp_interim} ergibt die Austrittsmachzahl \(Ma_{9}\):

\begin{equation}
Ma_{9}^{2} = \frac{2}{\gamma – 1} \left ( \Theta_{0} \tau_{c} \tau_{t} – 1 \right )
\label{eq:Ma9_interim}
\end{equation}

Gl. \eqref{eq:temp_interim3} kann ebenfalls in Gl. \eqref{eq:unbek_v9_v0} eingesetzt werden:

\begin{equation}
\frac{v_{9}}{v_{0}} = \frac{Ma_{9}}{Ma_{0}} \sqrt{\tau_{b}}
\label{eq:unbek_v9_v0_2}
\end{equation}

Einsetzen der Gl. \eqref{eq:Ma9_interim} und der Beziehung für \(Ma_{0}\):

\begin{equation}
\Theta_{0} = \frac{T_{t0}}{T_{0}} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2} \quad \rightarrow \quad Ma_{9}^{2} = \frac{2}{\gamma – 1} \left ( \Theta_{0} – 1 \right )
\label{eq:Ma0_interim}
\end{equation}

in Gl. \eqref{eq:unbek_v9_v0_2} ergibt schließlich die Unbekannte \(\frac{v_{9}}{v_{0}}\):

\begin{equation}
\frac{v_{9}}{v_{0}} = \sqrt{\frac{\Theta_{0} \tau_{c} \tau_{t} – 1 }{\Theta_{0} – 1} \tau_{b}}
\label{eq:unbek_v9_v0_3}
\end{equation}

Einsetzen in Gl. \eqref{eq:schub_einfach2} ergibt die vorläufige Gleichung für den spezifischen Schub:

\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = \frac{v_{0}}{a_{0}} \left ( \frac{v_{9}}{v_{0}} – 1 \right ) = \sqrt{\frac{2 \left ( \Theta_{0} \tau_{c} \tau_{t} – 1 \right )}{\gamma – 1} \tau_{b}} – Ma_{0}
\label{eq:schub_einfach3}
\end{equation}

Aus dieser Gleichung lässt sich ein Parameter eliminieren, da \(\tau_{c}\) und \(\tau_{t}\) voneinander abhängig sind. Im Idealfall (vernachlässigbarer Treibstoffmassenstrom und keine Verluste) herrscht Leistungs- bzw. Energiegleichgewicht zwischen dem Verdichter und der Turbine:

\begin{equation}
\dot{m} c_{p} \left ( T_{t3} – T_{t2} \right) = \dot{m} c_{p} \left ( T_{t4} – T_{t5} \right)
\label{eq:leistungsgl_ct}
\end{equation}

Nach einer Zwischenrechnung führt das auf:

\begin{equation}
\tau_{t} = 1 – \frac{\Theta_{0}}{\Theta_{4}} \left ( \tau_{c} – 1 \right )
\label{eq:leistungsgl_taut}
\end{equation}

Ferner ist:

\begin{equation}
\tau_{b} = \frac{T_{t4}}{T_{t3}} = \frac{T_{t4}}{T_{0}} \frac{T_{0}}{T_{t0}} \frac{T_{t0}}{T_{t3}} = \frac{\Theta_{4}}{\Theta_{0} \tau_{c}}
\label{eq:taub_rel}
\end{equation}

Bei der Größe \(\Theta_{4}\) handelt es sich um die dimensionslose Totaltemperatur am Turbineneintritt, die mit dem Index „t“ (=turbine) bezeichnet werden kann:

\begin{equation}
\Theta_{4} = \Theta_{t} \quad \rightarrow \quad \tau_{b} = \frac{\Theta_{t}}{\Theta_{0} \tau_{c}}
\label{eq:taub_rel2}
\end{equation}

Nun können Gln. \eqref{eq:taub_rel2} und \eqref{eq:leistungsgl_taut} in die Schubgleichung \eqref{eq:schub_einfach3} eingesetzt werden:

\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = \sqrt{\frac{2 \Theta_{0}}{\gamma – 1} \left ( \frac{\color{red}{\Theta_{t}}}{\Theta_{0} \color{blue}{\tau_{c}}} – 1 \right ) \left ( \color{blue}{\tau_{c}} – 1 \right ) + \frac{\color{red}{\Theta_{t}} \color{orange}{Ma_{0}^{2}}}{\Theta_{0} \color{blue}{\tau_{c}}}} – \color{orange}{Ma_{0}}
\label{eq:schub_turbojet_allg}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{F}{\dot{m} a_{0}} = f \left ( \color{blue}{\tau_{c}}, \color{red}{\Theta_{t}}, \color{orange}{Ma_{0}} \right )
\label{eq:schub_turbojet_allg_funkt}
\end{equation}

Der spezifische Schub hängt also ab von:

• Temperaturanstieg (bzw. Druckanstieg) im Verdichter (thermischer Wirkungsgrad): \(\color{blue}{\tau_{c}}\)
• Turbineneintrittstemperatur (Energiezufuhr im Kreisprozess): \(\color{red}{\Theta_{t}}\)
• Flugmachzahl: \(\color{orange}{Ma_{0}}\)

Die Gleichung kann für folgende Spezialfälle diskutiert werden:

1. Keine Kompression: \(\tau_{c} = 1\). Dann gibt es auch keinen Bedarf für die Turbine und die Gleichung vereinfacht sich zu (entspricht der Ramjet-Gleichung): \( \frac{F}{\dot{m} a_{0}} = Ma_{0} \left ( \sqrt{\tau_{b}} – 1 \right ) \)
2. Keine Verbrennung: \(\tau_{b} = 1 \quad \rightarrow \quad \frac{F}{\dot{m} a_{0}} = 0\).
   Ohne Verbrennung entwickelt der Turbojet keinen Schub.
3. Standschub: \(Ma_{0} = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{F}{\dot{m} a_{0}} \neq 0\).
   Der Turbojet entwickelt im Standfall einen Schub, im Gegensatz zum Ramjet.

Wie die spezifische Kreisprozessarbeit wird auch der spezifische Schub für ein bestimmtes Druckverhältnis maximiert. Zu diesem Zweck wird Gl. \eqref{eq:schub_turbojet_allg} nach \(\tau_{c}\) abgeleitet und zu Null gesetzt (hier nicht gezeigt). Für das Temperatur- und Druckverhältnis des Verdichters, bei dem der Schub maximiert wird, ergibt sich:

\begin{equation}
\left . \tau_{c} \right |_{Fmax} = \frac{\sqrt{\color{red}{\Theta_{t}}}}{\Theta_{0}}
\label{eq:fmax_tauc}
\end{equation}

\begin{equation}
\left . \pi_{c} \right |_{Fmax} = \left ( \left . \tau_{c} \right |_{Fmax} \right )^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:fmax_pic}
\end{equation}

mit:

\begin{equation}
\Theta_{0} = 1 + \frac{\gamma – 1}{2} Ma_{0}^{2}
\label{eq:fmax_theta0}
\end{equation}

Wird also beim Entwurf des Triebwerks der maximale Schub angestrebt, kann das Verdichterdruckverhältnis nicht beliebig gewählt werden, sondern ergibt sich aus der vorgegebenen Turbineneintrittstemperatur und der Flugmachzahl. Folgerichtig lässt sich \(\color{blue}{\tau_{c}}\) aus der zugehörigen Schubgleichung eliminieren, d.h. Gl. \eqref{eq:fmax_tauc} in \eqref{eq:schub_turbojet_allg} liefert:

\begin{equation}
\left . \frac{F}{\dot{m} a_{0}} \right |_{max} = \sqrt{\frac{2}{\gamma – 1} \left ( \sqrt{\color{red}{\Theta_{t}}} – 1 \right )^{2} + \color{orange}{Ma_{0}^{2}}} – \color{orange}{Ma_{0}} = f \left ( \color{red}{\Theta_{t}}, \color{orange}{Ma_{0}} \right )
\label{eq:schub_turbojet_max}
\end{equation}

Diese Gleichung wird in der nachfolgenden Abbildung für folgende Beispielrechnung grafisch ausgewertet:

• \(T_{0} = 216 K\) (Stratosphäre)
• \(a_{0} = 295 K\) (Stratosphäre)
• \(\gamma = 1,4\) (Ideales Gas)
• \(h_{low} = 4,3 \cdot 10^{7} \frac{J}{kg}\)
• \(c_{p} = 1005 \frac{J}{kg K}\)

Folgende Schlussfolgerungen für den idealen Turbojet ohne Nachbrenner können gezogen werden:

• Der spezifische Standschub ist der größte.
• Der spezifische Schub nimmt mit der Flugmachzahl ab. Für Verkehrsflugzeuge, die bei \(Ma_{0} \approx 0,8\) operieren, ist diese Abnahme nicht kritisch, da der Schubbedarf im Reiseflug etwa 20-30% des Standschubs beträgt. Für Überschallflugzeuge stellt sie jedoch ein Problem dar, da der Schubbedarf im Überschall deutlich ansteigt.
• Der spezifische Schub nimmt mit der Turbineneintrittstemperatur zu.

Spezifischer Impuls

Der spezifische Impuls wurde im entsprechenden Abschnitt wie folgt definiert:

\begin{equation}
I_{sec} = \frac{F}{g \cdot \dot{m}_{f}}
\label{eq:imp_sec_def}
\end{equation}

Mit der bereits hergeleiteten Gleichung \eqref{eq:schub_turbojet_allg} für den spezifischen Schub und der Energiebilanz über der Brennkammer:

\begin{equation}
\dot{m} c_{p} \left ( T_{t4} – T_{t3} \right ) = \dot{m}_{f} h_{low}
\label{eq:energie_bk}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\dot{m}_{f}}{\dot{m}} = \frac{c_{p} T_{0}}{h_{low}} \left ( \Theta_{t} – \Theta_{0} \tau_{c} \right )
\label{eq:energie_bk2}
\end{equation}

ergibt sich:

\begin{equation}
I_{sec} = \frac{a_{0} h_{low}}{g c_{p} T_{0}} \frac{\sqrt{\frac{2 \Theta_{0}}{\gamma – 1} \left ( \frac{\color{red}{\Theta_{t}}}{\Theta_{0} \color{blue}{\tau_{c}}} – 1 \right ) \left ( \color{blue}{\tau_{c}} – 1 \right ) + \frac{\color{red}{\Theta_{t}} \color{orange}{Ma_{0}^{2}}}{\Theta_{0} \color{blue}{\tau_{c}}}} – \color{orange}{Ma_{0}}}{\color{red}{\Theta_{t}} – \Theta_{0} \color{blue}{\tau_{c}}}
\label{eq:imp_sec}
\end{equation}

Für den Fall des maximalen spezifischen Schubs nimmt diese Gleichung folgende Form an:

\begin{equation}
\left . I_{sec} \right |_{Fmax} = \frac{a_{0} h_{low}}{g c_{p} T_{0}} \frac{ \sqrt{\frac{2}{\gamma – 1} \left ( \sqrt{\color{red}{\Theta_{t}}} – 1 \right )^{2} + \color{orange}{Ma_{0}^{2}}} – \color{orange}{Ma_{0}}}{\color{red}{\Theta_{t}} – \sqrt{\color{red}{\Theta_{t}}}}
\label{eq:imp_sec_fmax}
\end{equation}

Weitere Vereinfachungen dieser Gleichungen sind nicht möglich. Die grafische Interpretation der letzten Gleichung führt auf folgende Schlussfolgerungen:

• Der spezifische Impuls ist im Standschub am größten und nimmt mit der Flugmachzahl ab.
• Bis \(Ma_{0} \approx 3\): Größerer Impuls wird durch kleinere Turbineneintrittstemperatur geliefert.
• Ab \(Ma_{0} \approx 3\): Trendumkehr, jedoch ist der Impuls nur geringfügig sensitiv gegenüber der Turbineneintrittstemperatur.