Reale Aspekte
Nachfolgende Tabelle gibt eine Übersicht der Aspekte, die in den einzelnen Komponenten in einem realen Kreisprozess vorhanden sind und zu einer Abweichung gegenüber dem idealisierten Verlauf führen.
| Aspekt | Fangst. | Einl. | Verd. | Brennk. | Turb. | Düse |
| Viskose Verluste | x | x | x | x | x | |
| Thermische Verluste | x | |||||
| Stoßverluste | (x) | (x) | (x) | (x) | (x) | (x) |
| Temperaturabhängigkeit von Stoffgrößen | x | x | x | x | x | x |
| Diabate Systemgrenzen | x | x | x | x | x | |
| Zapfluft | x | |||||
| Unvollständige Verbrennung | x | |||||
| Änderung der Zusammensetzung des Arbeitsmediums | x | |||||
| Mechanische Verluste | x | x | ||||
| Nicht-angepasster Austrittsdruck | (x) |
Fangstromröhre
Der Querschnitt der Fangstromröhre ändert sich (Erweiterung beim Schnellflug, Verringerung beim Langsamflug, vgl. Abschnitt „Unterschalleinlauf„), die Strömungsverluste bei diesem Vorgang können jedoch vernachlässigt werden. Dieser Abschnitt kann weiterhin als isentrop wie beim idealen Kreisprozess betrachtet werden.
Lediglich beim Überschallflug können durch den Einlauf Verdichtungsstöße hervorgerufen werden, die sich in die Fangstromröhre ausstrecken. Die entsprechenden Verluste können in der Fangstromröhre berücksichtigt werden, es ist jedoch üblich, diese dem Einlauf zuzuschreiben.
Einlauf
Die Strömungsverluste führen zu einer Abnahme des Totaldrucks, den man durch das entsprechende Druckverhältnis berücksichtigt, sogenannten Druckrückgewinn (pressure recovery ratio):
\begin{equation}
\pi_{d} = \frac{p_{t2}}{p_{t1}} < 1
\label{eq:druckrueckgewinn}
\end{equation}
Verdichter
Die Fluidelemente durchlaufen eine polytrope Zustandsänderung, bei der Entropie durch Dissipation (Strömungsverluste) erzeugt wird. Um die gleiche Temperaturerhöhung wie im isentropen Fall zu erreichen, muss nun eine größere Enthalpieerhöhung aufgebracht werden:
\begin{eqnarray}
\Delta h_{t,poly,c} & > & \Delta h_{t,isen,c} \\
\Delta h_{t,real,c} & > & \Delta h_{t,ideal,c}
\label{eq:poly_enthalpie_verd}
\end{eqnarray}
Der entsprechende isentrope Wirkungsgrad wird wie folgt definiert:
\begin{equation}
\eta_{isen,c} = \frac{\Delta h_{t,isen,c}}{\Delta h_{t,poly,c}} = \frac{\Delta h_{t,ideal,c}}{\Delta h_{t,real,c}} = \frac{\pi_{c}^{\frac{\gamma_{c}-1}{\gamma_{c}}} – 1}{\tau_{c} – 1} = \frac{\left ( \frac{p_{t3}}{p_{t2}} \right )^{\frac{\gamma_{c}-1}{\gamma_{c}}} – 1}{\frac{T_{t3}}{T_{t2}} – 1}
\label{eq:isen_wirkg_verd}
\end{equation}
Gegenüber der Isentropenbeziehung, die für ideale Kreisprozesse verwendet wurde:
\begin{equation}
\textrm{Isentrop:} \quad \pi_{c}= \tau_{c}^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:isen_verd_beziehung}
\end{equation}
besteht nun folgende Beziehung:
\begin{equation}
\textrm{Polytrop:} \quad \pi_{c}= \left [ 1 + \eta_{isen,c} \left ( \tau_{c} – 1 \right ) \right ]^{\frac{\gamma_{c}}{\gamma_{c}- 1}}
\label{eq:poly_verd_beziehung}
\end{equation}
Brennkammer
Die unvollständige Verbrennung wird durch den Brennkammer-Wirkungsgrad (Ausbrenngrad) erfasst:
\begin{equation}
\eta_{b} = \frac{c_{pm} \left [ \left ( \dot{m}_{0} + \dot{m}_{f} \right ) T_{t4} – \dot{m}_{0} T_{t3} \right ] }{\dot{m}_{f} h_{low}}
\label{eq:ausbrenngrad}
\end{equation}
Typische Werte sind zwischen 0,95 (Leerlauf) und 0,995 (große Leistung, Reiseflug).
Die Strömungsverluste führen auf ein Totaldruckverhältnis:
\begin{equation}
\pi_{b} = \frac{p_{t4}}{p_{t3}} < 1
\label{eq:brennk_ptr}
\end{equation}
mit den typischen Werten zwischen 0,94 und 0,97.
Turbine
Die Enthalpieentnahme ist in diesem Fall geringer als im isentropen Fall:
\begin{eqnarray}
\Delta h_{t,poly,t} & < & \Delta h_{t,isen,t} \\
\Delta h_{t,real,t} & < & \Delta h_{t,ideal,t}
\label{eq:turb_poly_enthalpie}
\end{eqnarray}
Der entsprechende isentrope Wirkungsgrad lautet:
\begin{equation}
\eta_{isen,t} = \frac{\Delta h_{t,poly,t}}{\Delta h_{t,isen,t}} = \frac{\Delta h_{t,real,t}}{\Delta h_{t,ideal,t}} = \frac{1 – \tau_{t}}{1 – \pi_{t}^{\frac{\gamma_{t} – 1}{\gamma_{t}}}} = \frac{1 – \frac{T_{t5}}{T_{t4}}}{1 – \left ( \frac{p_{t5}}{p_{t4}} \right )^{\frac{\gamma_{t} – 1}{\gamma_{t}}}}
\label{eq:isen_wirkg_turb}
\end{equation}
\begin{equation}
\textrm{Isentrop:} \quad \pi_{t}= \tau_{t}^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}}
\label{eq:isen_turb_beziehung}
\end{equation}
\begin{equation}
\textrm{Polytrop:} \quad \pi_{t}= \left ( 1 – \frac{1 – \tau_{t}}{\eta_{isen,t}} \right )^{\frac{\gamma_{t}}{\gamma_{t}- 1}}
\label{eq:poly_turb_beziehung}
\end{equation}
Da die mittlere Wärmekapazität in der Turbine deutlich größer ist als im Verdichter, fällt die Totaltemperaturabnahme in der Turbine geringer aus als die -Zunahme im Verdichter:
\begin{eqnarray}
w_{comp} & = & \left | w_{turb} \right | \\
\Delta h_{t,comp} & = & \left | \Delta h_{t,turb} \right | \\
c_{pm,comp} \, \Delta T_{t,comp} & = & c_{pm,turb} \left | \Delta T_{t,turb} \right |
\label{eq:totalenth_verd_turb}
\end{eqnarray}
Beispiel für \(\left | \Delta T \right | = 400 K\):
| Komponente | \(T_{in} [°C]\) | \(T_{out} [°C]\) | \(c_{pm} \left [ \frac{J}{kg \, K} \right ]\) |
| Verdichter | 0 | 400 | 1029 |
| Turbine | 1600 | 1200 | 1225 |
Düse
Die Strömungsverluste führen zu einem kleineren Totaldruckverhältnis als im idealen Fall:
\begin{equation}
\pi_{n} <1
\label{eq:pit_duese}
\end{equation}
Im Falle des nicht-angepassten Austrittsdrucks \(p_{9} \neq p_{0}\) wird darüber hinaus eine kleinere Austrittsgeschwindigkeit erzeugt, wodurch der entsprechende Beitrag zum Schub kleiner wird.
T-s-Diagramm
Folgende Zustandsänderungen bleiben gleich wie beim idealen Kreisprozess:
- Fangstromröhre: isentrop
- Wärmeabgabe: isobar bei aufgeprägtem Umgebungsdruck
Folgende Zustandsänderungen sind nun polytrop:
- Verdichtung (Einlauf und Verdichter): Verluste führen zur Entropieproduktion
- Verbrennung: Statischer und Totaldruck nehmen ab
- Expansion (Turbine und Düse): Verluste führen zur Entropieproduktion
Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:
\begin{eqnarray}
q_{add,real} & < & q_{add,ideal} \\
q_{rel,real} & > & q_{rel,ideal} \\
v_{9,real} & < & v_{9,ideal} \\
\eta_{th,real} & < & \eta_{th,ideal} \\
\left | P_{j} \right | & < & \left | P_{cyc,real} \right |
\label{eq:vgl_real_ideal}
\end{eqnarray}
Wirkungsgrad
Eine qualitative Diskussion des thermischen Wirkungsgrads kann anhand der nachfolgenden Abbildung durchgeführt werden. Aus der idealen Kreisprozessbetrachtung ist bekannt, dass der thermische Wirkungsgrad bei steigender Verdichtung ebenfalls zunimmt und sich dem Carnot-Wirkungsgrad nähert. Im realen Fall findet jedoch eine Trendumkehr statt, so dass der Wirkungsgrad wieder abnimmt und im Extremfall \(Q_{add}=Q_{rel}\) Null wird. In diesem Fall wird die gesamte zugeführte Wärme zum Abtransport der Entropie benötigt, so dass keine Energie zur Strahlbeschleunigung übrig bleibt. Nach der Definition des thermischen Wirkungsgrads (Änderung der Strahlleistung durch zugeführten Wärmestrom) ergibt sich zwangsläufig die Null.
Die Wirkungsgrade einzelner Komponenten haben ebenfalls einen deutlichen Einfluss auf die Gesamtperformance des Triebwerks. Nachfolgende Abbildung verdeutlicht diesen Einfluss anhand des Verdichter- und Turbinenwirkungsgrades. Der Kreisprozess mit kleineren Komponentenwirkungsgraden führt auf:
- Größere Entropiezunahme in den Zustandsänderungen
- Größere Verdichter- und Turbinenleistung notwendig
- Kleinere Wärmezufuhr
- Kleinere Austrittsgeschwindigkeit \(v_{0}\)
Insbesondere der letzte Aspekt führt auf kleinere Strahlleistung \(P_{j}\) und somit kleineren thermischen Wirkungsgrad \(\eta_{th}=P_{j}/\dot{Q}_{add}\). Für die Triebwerksleistungen ist es also entscheidend, wie viel Energie in die Strahlbeschleunigung umgesetzt wird, und nicht die Kreisprozessarbeit \(w_{cyc}\) (eingeschlossene Fläche im \(T\)-\(s\)-Diagramm. Beim idealen Prozess waren diese beiden Energien gleich groß, nun ist die Strahlbeschleunigung geringer:
\begin{eqnarray}
\textrm{ideal:} \quad \left | w_{cyc} \right | & = & \frac{v_{e}^{2} – v_{0}^{2}}{2} \\
\textrm{real:} \quad \left | w_{cyc} \right | & > & \frac{v_{e}^{2} – v_{0}^{2}}{2}
\label{eq:vgl_real_ideal_wcyc}
\end{eqnarray}
Das Entwurfsziel ist es also, die Austrittsgeschwindigkeit zu maximieren und nicht die Kreisprozessarbeit. In manchen Literaturstellen wird die entsprechende Strahlbeschleunigungsarbeit als Nutzarbeit gekennzeichnet:
\begin{equation}
w_{n} = \frac{v_{e}^{2} – v_{0}^{2}}{2}
\label{eq:def_nutzarbeit}
\end{equation}
Obwohl die Kreisprozessarbeit beim Übergang vom idealen zum realen Kreisprozess oder durch schlechtere Wirkungsgrade i.d.R. größer wird, bedeutet das keine Verbesserung der Triebwerksperformance. Nur die Erhöhung der Nutzarbeit bzw. der Strahlbeschleunigungsarbeit führt zu einer Verbesserung.
Sensitivitäten: Referenzbeispiel
Es ist durchaus möglich, unter Berücksichtigung mancher realer Aspekte Gleichungen für den Schub, Wirkungsgrad und weitere Kennzahlen herzuleiten, folgend der Prozedur aus dem idealen Kreisprozess. Entsprechende Gleichungen werden jedoch sehr lang und unübersichtlich, zudem sie deutlich mehr Parameter als in den idealen Gleichungen enthalten. Aus diesem Grund wird hier darauf verzichtet und stattdessen wird eine Parameterstudie mit folgendem Referenzbeispiel präsentiert:
| \(Ma_{0}\) | \(0,8\) |
| \(alt\) | \(11 km\) |
| \(p_{0}\) | \(22632 Pa\) |
| \(p_{9}\) | \(p_{0}\) (angepasst) |
| \(T_{0}\) | \(216,65 K\) |
| \(T_{t4}\) | \(1870,7 K\) |
| \(c_{p}\) | \(1004,85 \frac{J}{kg \, K} = const.\) |
| \(\gamma\) | \(1,4 = const.\) |
| \(h_{low}\) | \(43 \frac{MJ}{kg}\) |
| Komponente | \(\pi\) | \(\eta_{is}\) |
| Fangstromröhre | 1,00 | 1 |
| Einlauf | 0,99 | 0,99 |
| Verdichter | 40 | 0,85 |
| Brennkammer | 0,97 | 0,99 (Ausbrenn-WG) |
| Turbine | (0,2374) | 0,85 |
| Düse | 0,995 | 0,995 |
Obwohl einige reale Aspekte nicht berücksichtigt wurden, handelt es sich um einen repräsentativen Fall, aus dem prinzipielle Trends abgeleitet werden können. Als ein erstes Resultat wird der reale Fall (angepasste Düse) mit dem idealen verglichen:
- Kaum Veränderung des spezifischen Schubs
- Abnahme des Gesamtwirkungsgrads um 11,1%
- Zunahme des spezifischen Verbrauchs um 12,1%
Darüber hinaus ist der reale Fall mit rein konvergenter Düse (\(Ma_{9}=1\)) mit dem idealen verglichen worden:
- Abnahme des spezifischen Schubs um 12,4%
- Abnahme des Gesamtwirkungsgrads um 59,8%
- Zunahme des spezifischen Verbrauchs um 28,2%
| Kennzahl | ideal | real (\(p_{9}=p_{0}\)) | Diff. [%] | real (\(Ma_{9}=1\)) | Diff. [%] |
| \(\frac{F}{\dot{m} a_{0}}\) | 3,329 | 3,334 | 0,1 | 2,916 | -12,4 |
| \(\eta_{th}\) | 0,691 | 0,613 | -11,3 | 0,176 | -74,5 |
| \(\eta_{p}\) | 0,331 | 0,331 | 0,1 | 0,522 | 57,9 |
| \(\eta_{all}\) | 0,229 | 0,203 | -11,1 | 0,092 | -59,8 |
| \(tsfc\) | 23,3 | 26,2 | 12,1 | 29,9 | 28,2 |
| \(I_{sec}\) | 4366 | 3893 | -10,8 | 3405 | -22,0 |
Sensitivitäten: Verdichterdruckverhältnis
Das Verdichterdruckverhältnis \(\pi_{c}\) ist sowohl in der idealen als auch in der realen Kreisprozessbetrachtung einer der wichtigsten Einflussparameter. Die Auswirkungen der entsprechenden Variation für den Fall der angepassten Düse sind in den nachfolgenden Abbildungen dargestellt:
- Verschiedene Kennzahlen werden bei verschiedenen Druckverhältnissen maximiert bzw. minimiert.
- Das Maximum des spezifischen Schubs wird bei sehr kleinen Druckverhältnissen erreicht (hier: \(\left . \pi_{c} \right |_{F,max}=18,67\)).
- Das Minimum des spezifischen Verbrauchs bzw. das Maximum des spezifischen Impulses und des Gesamtwirkungsgrads werden bei einem großen Druckverhältnis erreicht (hier: \(\pi_{c} = 200\)). Dieser Wert ist weit von den heute üblichen Druckverhältnissen (\(\pi_{c} \approx 50\)) entfernt.
- Das Maximum des thermischen Wirkungsgrads befindet sich dazwischen (hier: \(\pi_{c} = 89\)).
- Im Auslegungsprozess muss eine Priorität festgelegt werden, welche Kennzahl maximiert bzw. minimiert werden soll.
- Ab \(\pi_{c} \approx 80\) gibt es einen breiten Bereich, in dem sich der spezifische Verbrauch und der Gesamtwirkungsgrad nur wenig verbessern.
Sensitivitäten: Maximale Temperatur und Komponentenwirkungsgrade
Als weitere Parameter wurden die maximale Kreisprozesstemperatur, hier in dimensionsloser Form:
\begin{equation}
\theta_{4} = \frac{T_{t4}}{T_{0}}
\label{eq:theta4_def}
\end{equation}
und die Komponentenwirkungsgrade des Verdichters und der Turbine \(\eta_{is,c}\) und \(\eta_{is,t}\) variiert. Folgende Trends können beobachtet werden:
- Spezifischer Schub nimmt mit der maximalen Temperatur zu.
- Spezifischer Verbrauch nimmt zunächst ab und dann wieder zu.
- Gute Abstimmung zwischen dem Verdichterdruckverhältnis und der maximalen Temperatur notwendig, um den Verbrauch zu minimieren.
- Ab \(\theta_{4} \approx 6\) ist die Änderung des Schubs deutlich größer als die Änderung des Gesamtwirkungsgrads und des Verbrauchs, d.h. der Schub profitiert hauptsächlich von weiteren Temperaturerhöhungen.
- Bessere Komponentenwirkungsgrade führen zu größerem Schub und kleinerem Verbrauch (anders ausgedrückt: Verschlechterung der Komponentenwirkungsgrade muss durch größere Wärmezufuhr/Verbrennung kompensiert werden).
Um zu untersuchen, ob der Verdichter- oder der Turbinenwirkungsgrad einen größeren Einfluss auf die Triebwerksperformance hat, sind die entsprechenden Wirkungsgrade jeweils um 1%, dh. von 85 auf 86% geändert worden (siehe Tabelle unten):
- Beide Wirkungsgraderhöhungen haben einen positiven Effekt auf den Schub, den Gesamtwirkungsgrad und den Verbrauch.
- Verbesserung des Verdichterwirkungsgrads erzielt eine etwa doppelt so große Schuberhöhung.
- Verbesserung des Turbinenwirkungsgrads erzielt etwa die 7-fache Erhöhung des Gesamtwirkungsgrades und etwa 5-fache Reduktion des Treibstoffverbrauchs.
Diese Zahlenwerte gelten nur für das Referenzbeispiel. Bei anderen Triebwerksparametern ist eine individuelle Sensitivitätsstudie erforderlich.
| Kennzahl | \(\Delta_{c}\) durch \(\eta_{is,c}\) | \(\Delta_{t}\) durch \(\eta_{is,t}\) | \(\frac{\Delta_{t}}{\Delta_{c}}\) |
| \(\frac{F}{\dot{m} a_{0}}\) | 0,63% | 0,36% | 0,51 |
| \(\eta_{all}\) | 0,01% | 0,067% | 6,86 |
| \(tsfc\) | -0,06% | -0,32% | 5,26 |